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Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.
Método de Reducción
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por uno o más números, de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra.
Veamos el proceso por fases
a. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario.
b. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
c. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
d. Para este paso hay dos opciones
1. Se repite el proceso con la otra incógnita.
2. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.
Veamos un ejemplo.
Entre Ana y Sergio tienen 600 bolitas, pero Sergio tiene el doble de bolitas que Ana. ¿Cuántas bolitas tienen cada uno?
Llamemos x al número de bolitas de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones.
Si los dos tienen 600 bolitas, podemos escribir la siguiente ecuación: x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de bolitas que Ana, tendremos que y = 2x.
Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema.
x + y = 600
2x - y = 0
Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que en ambas ecuaciones la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas, y nos quedará así.
A partir de este momento es cuando se pueden aplicar cualquiera de las dos posibilidades descritas más arriba.
Si remplazamos el valor de x = 200 en cualquiera de las ecuaciones iniciales obtendremos el valor de y.
Vamos a remplazarlo en la segunda ecuación y así tendremos.
Como 2x – y = 0 remplazando x= 200
2. 200 – y = o al multiplicar y despejando la y tenemos.
400 = y
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 bolitas y Sergio tiene 400 bolitas.