Si tenemos la sucesión de números 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, notamos que cada uno de los términos a partir del segundo lo conseguimos sumando 3 unidades al anterior.

A este tipo de sucesión en la que cada término, a partir del segundo, se consigue sumando una misma cantidad al número anterior, se llama progresión aritmética.

En el ejemplo anterior tenemos un elemento inicial (2) al que llamaremos primer elemento y a la cantidad constante (3) que le sumamos a los números para obtener el siguiente le llamaremos razón aritmética o diferencia.

¡A practicar!

Todos los beneficios, en un solo lugar Descubrí donde te conviene comprar hoy

Problema 1

¿Cuál es el décimo término de la progresión 4, 9, 14,19,….?

A continuación buscaremos una fórmula que nos permita resolver problemas con cantidades mayores y con más términos en la progresión.

En primer lugar, vamos a descubrir dos propiedades muy importantes de las progresiones aritméticas utilizando los ejemplos dados al inicio.

En la progresión aritmética 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, podemos notar que si sumamos:

12 + 54 = 66

18 + 48 = 66

24 + 42 = 66

30 + 36 = 66

Es decir que todos los términos que se encuentran a la misma distancia de los extremos suman lo mismo.

Es importante tener en cuenta que en el ejemplo, la cantidad de términos es un número par, en este caso, la progresión tiene 8 términos.

En el otro ejemplo, que tiene una cantidad impar de términos (7 términos); 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, notamos que:

2 + 20 = 22

5 + 17 = 22

8 + 14 = 22

11 x 2 = 22

Podemos ver que cumplen la misma condición y que el término central es la mitad de la suma de los extremos.

Ahora intentaremos encontrar una fórmula para calcular cualquier término de la progresión.

Llamemos «a» al primer término; «d» a la diferencia y «n» a la cantidad total de términos de la sucesión estudiada.

El primer término es: t1 = a

El segundo término es: t2 = a + d

El tercer término es: t3 = t2 + d = (a + d) + d = a + 2 d

El cuarto término es: t4 = t3 + d = (a + 2 d) + d = a + 3 d

El quinto término es: t5 = t4 + d = (a + 3 d) + d = a + 4 d

El sexto término es: t6 = t5 + d = (a +4 d) + d = a + 5 d

En general el término de la posición «n» es tn = a + (n - 1) d

¡A trabajar!

Problema 2

¿Cuál es el número de la posición 2014 en la sucesión de números 14, 25,36,…..?

Problema 3

José cuenta números de la siguiente forma 12, 52, 92,…Si en total escribió 1000 números, ¿cuál es la suma de los dos últimos números que escribió?

A continuación vamos a deducir una fórmula que nos permita calcular fácilmente la suma total de los términos de una progresión aritmética.

Llamemos «S» a la suma total de los términos de la progresión, entonces tenemos que

S = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + ……… + tn-1 + tn (1)

que podemos escribir también en el siguiente orden

S = tn + tn-1 + ……… + t5 + t4 + t3 + t2 + t1(2)

Si ahora sumamos miembro a miembro los términos de cada juna de las sumas (1) y (2)

Vamos a obtener

2 S = (t1 + tn) + (t2 +tn-1 ) …….. + (t2 +tn-1 ) + (t1 + tn)

Y recordando que la suma de los términos que están a la misma distancia de los extremos es la misma, tenemos que

t1 + tn = t2 + tn-1 = t3 + tn – 2 ……… y así sucesivamente, entonces

2 S = (t1 + tn ) + (t1 + tn ) + (t1 + tn ) + ……(t1 + tn ) , donde (t1 + tn ) aparece en total n veces y por lo tanto nos queda

2S = (t1 + tn ) . n

Con lo que S = (t1 + t2 :2 ) . n (es decir S es igual a la mitad de la suma del primer y último término de la progresión, multiplicado por la cantidad de términos de la misma).